Критерий Гурвица и Раусса - 6 Февраля 2010 - Лекции
Четверг, 08.12.2016, 05:05
Приветствую Вас Гость | RSS

Лекции

Меню сайта
Форма входа
Категории раздела
ТАУ (Теория автоматического управления) [31]
лекции по ТАУ
Экология [151]
учебник
Бухгалтерский учет и налогообложение в строительстве [56]
Дементьев А.Ю. - Практическое пособие
Психология [104]
Пип
информатика [80]
с# Карли Ватсон
современные стулья [0]
новинки
Поиск
Главная » 2010 » Февраль » 6 » Критерий Гурвица и Раусса
01:34
Критерий Гурвица и Раусса
4.2. Алгебраические критерии устойчивости

4.2.1. Критерий Гурвица

Критерий Гурвица сформулирован и доказан в 1895 году немецким ученым А. Гурвицем. В первоначальное время он использовался для оценки устойчивости систем до пятого порядка из-за трудности расчета определителей Гурвица высокого порядка. Применение ЭВМ позволило устранить этот недостаток. Кроме того, критерий Гурвица позволяет получать аналитические выражения для исследования влияния какого-либо параметра (параметров) на устойчивость системы.
Система устойчива по критерию Гурвица, если при положительности коэффициентов характе-ристического уравнения а0, а1,…, ап все п определителей Гурвица 1, 2,…, п, составленные по опреде-ленной схеме, положительны. Если хотя бы один из определителей Гурвица отрицательный, то система неустойчива.
Матрица, по которой вычисляются определители Гурвица составляется следующим образом:

1 2 3 … n-1 n

a1 a3 a5 … 0 0
a0 a2 a4 … 0 0
0 a1 a3 … 0 0
0 a0 a2 … 0 0
… … … … … …
0 0 0 … an-1 0
0 0 0 … an-2 an
   

- на главной диагонали записываются все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до ап;
- в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записываются коэффициенты с последователь-но возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами;
- на место коэффициентов с индексами больше п или меньше нуля проставляются нули.
Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы:
 . (4.6)

4.2.2. Критерий Рауса

Критерий Рауса предложен в 1877 году английским математиком Э.Дж. Раусом. Критерий Рауса широко используется при оценке устойчивости систем высокого порядка, если известны и положитель-ны коэффициенты характеристического уравнения. Этот критерий устойчивости просто реализуется на ЭВМ и можно использовать для выяснения влияния коэффициентов уравнения на устойчивость системы.
Применение критерия Рауса требует составления таблицы, представленной в табл. 4.1:

Таблица 4.1. 
Таблица Рауса

Вспомогательные коэффициенты Номер строки Номер столбца
  I II III …
- 1 с11=a0 с12=a2 с13=a4 …
- 2 с21=a1 с22=a3 с23=a5 …
r3 3 с31 с32 с33 …
r4 4 с41 с42 с43 …
… … … … … …
ri i сi1 сi2 сi3 …
… … … … … …
rn+1 n+1 сn+1,1 - - …


Таблица Рауса строится следующим образом: 
- в первую строку записывают четные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а0;
- во вторую строку записывают нечетные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а1;
- элементы столбцов, начиная с третьей строки, определяются по выражению:
  , (4.7)
где ; k=1,2,3,…; ri – вспомогательные коэффициенты, определяемые по выражению
  , (4.8)
где .
Система устойчива по критерию Рауса, если положительны все коэффициенты первого столб-ца таблицы Рауса, включая а0 и а1. Если не все коэффициенты положительны, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характе-ристического уравнения.
Достоинством критериев Гурвица и Рауса является то, что с их помощью можно оценивать устойчивость как замкнутых, так и разомкнутых систем.

Категория: ТАУ (Теория автоматического управления) | Просмотров: 2113 | Добавил: basic | Рейтинг: 4.0/1
Всего комментариев: 0
Имя *:
Email *:
Код *:
Календарь
«  Февраль 2010  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0

krutoto.ucoz.ru
Бесплатный конструктор сайтов - uCoz