4.2. Алгебраические критерии устойчивости
4.2.1. Критерий Гурвица
Критерий Гурвица сформулирован и доказан в 1895 году немецким ученым А. Гурвицем. В первоначальное время он использовался для оценки устойчивости систем до пятого порядка из-за трудности расчета определителей Гурвица высокого порядка. Применение ЭВМ позволило устранить этот недостаток. Кроме того, критерий Гурвица позволяет получать аналитические выражения для исследования влияния какого-либо параметра (параметров) на устойчивость системы.
Система устойчива по критерию Гурвица, если при положительности коэффициентов характе-ристического уравнения а0, а1,…, ап все п определителей Гурвица 1, 2,…, п, составленные по опреде-ленной схеме, положительны. Если хотя бы один из определителей Гурвица отрицательный, то система неустойчива.
Матрица, по которой вычисляются определители Гурвица составляется следующим образом:
1 2 3 … n-1 n
a1 a3 a5 … 0 0
a0 a2 a4 … 0 0
0 a1 a3 … 0 0
0 a0 a2 … 0 0
… … … … … …
0 0 0 … an-1 0
0 0 0 … an-2 an
- на главной диагонали записываются все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до ап;
- в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записываются коэффициенты с последователь-но возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами;
- на место коэффициентов с индексами больше п или меньше нуля проставляются нули.
Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы:
. (4.6)
4.2.2. Критерий Рауса
Критерий Рауса предложен в 1877 году английским математиком Э.Дж. Раусом. Критерий Рауса широко используется при оценке устойчивости систем высокого порядка, если известны и положитель-ны коэффициенты характеристического уравнения. Этот критерий устойчивости просто реализуется на ЭВМ и можно использовать для выяснения влияния коэффициентов уравнения на устойчивость системы.
Применение критерия Рауса требует составления таблицы, представленной в табл. 4.1:
Таблица 4.1.
Таблица Рауса
Вспомогательные коэффициенты Номер строки Номер столбца
I II III …
- 1 с11=a0 с12=a2 с13=a4 …
- 2 с21=a1 с22=a3 с23=a5 …
r3 3 с31 с32 с33 …
r4 4 с41 с42 с43 …
… … … … … …
ri i сi1 сi2 сi3 …
… … … … … …
rn+1 n+1 сn+1,1 - - …
Таблица Рауса строится следующим образом:
- в первую строку записывают четные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а0;
- во вторую строку записывают нечетные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а1;
- элементы столбцов, начиная с третьей строки, определяются по выражению:
, (4.7)
где ; k=1,2,3,…; ri – вспомогательные коэффициенты, определяемые по выражению
, (4.8)
где .
Система устойчива по критерию Рауса, если положительны все коэффициенты первого столб-ца таблицы Рауса, включая а0 и а1. Если не все коэффициенты положительны, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характе-ристического уравнения.
Достоинством критериев Гурвица и Рауса является то, что с их помощью можно оценивать устойчивость как замкнутых, так и разомкнутых систем.
|