3.2. Частотные характеристики
Частотные методы исследования САР (САУ) основаны на рассмотрении установившейся реак-ции системы на гармоническое входное воздействие. Выбор таких воздействий обусловлен следующи-ми причинами:
- реально встречающиеся воздействия, как правило, могут быть представлены в виде суммы гармоник различных частот на основе разложения Фурье;
- в установившихся режимах гармонические сигналы передаются линейными системами без искаже-ния;
- обычно не возникает затруднений в экспериментальном исследовании поведения таких систем при гармонических воздействиях.
Пусть на вход линейного объекта (звена) поступает гармоническое воздействие
, (3.12)
представленное на рис. 3.5,
Рис. 3.5. Входное и выходное гармонические воздействия
где А – амплитуда гармонического воздействия; - фаза сигнала; - круговая частота; Т – период сиг-нала, причем .
В установившемся режиме, если система устойчива, по истечении достаточно большого проме-жутка времени в ней установится периодическое движение с той же частотой, но с другими амплитудой В и фазой , т.е. сигнал
, (3.13)
также представленный на рис.3.5.
Изменения амплитуды и фазы выходного сигнала обусловлены как свойствами рассматриваемого объекта (видом дифференциального уравнения и значениями параметров), так и частотой. Частот-ные характеристики системы (элементов) описывают передаточные свойства системы и ее звень-ев в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием.
Отношение амплитуд В/А и разность фаз =- являются функциями частоты, графики которых называются амплитудно-частотными
(3.14)
и фазовыми частотными
(3.15)
характеристиками. Они показывают, что в линейной системе амплитуда и фаза гармонического сигна-ла в установившемся режиме изменяются при каждом значении частоты .
Частотной амплитудно-фазовой функцией (частотной передаточной функцией) W(j) назы-вается функция изменения амплитуды и фазы выходной переменной системы в установившемся режиме при приложении на вход гармонического воздействия. График частотной передаточной функции W(j) называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).
Частотная передаточная функция W(j) получается на основе преобразования Фурье, являющимся частным случаем преобразования Лапласа при р=j:
. (3.16)
На практике частотную передаточную функцию W(j) получают путем замены в передаточной функции
(3.17)
р j . В итоге W(j) имеет вид:
. (3.18)
Частотная передаточная функция является комплексно-частотной функцией, которая на комплекс-ной плоскости представляется, так как показано на рис. 3.6.
Тогда можно записать, что
. (3.19)
Из рис. 3.6 видно, что АФЧХ представляет собой годограф, определяющий геометрическое место то-чек для вектора с модулем А().
Амплитудно-частотной характеристикой называется график функции А(), определяемой выражением:
, (3.20)
Рис. 3.6. Амплитудно-фазовая частотная характеристика САР
которая характеризует закон изменения соотношения амплитуд выходного и входного сигналов в зави-симости от частоты. Примерный график амплитудно-частотной характеристикой для статической сис-темы приведен на рис. 3.7.
Рис. 3.7. Амплитудная частотная характеристика статической САР
Фазовой частотной характеристикой () называется график функции
, (3.21)
которая характеризует фазу выходного сигнала в зависимости от частоты задающего воздействия, при-мерный вид которой для статической системы представлен на рис. 3.8.
Вещественной частотной характеристикой P() называется график функции
, (3.22)
Рис. 3.8. Фазовая частотная характеристика статической САР
представленный на рис. 3.9.
Рис. 3.9.Вещественная частотная характеристика статической САР
Особенность функции Р() является ее четность, т.е. .
Мнимой частотной характеристикой Q() (МЧХ) называется график функции Q(), опреде-ляемой по выражению:
, (3.23)
примерный график которой приведен на рис. 3.10. Функция Q() является нечетной функцией, т.е.
Основным достоинством частотных характеристик является то, что они позволяют кос-венно (без решения дифференциальных уравнений) судить о поведении системы, т.е. оценивать устойчивость системы, определять оценки качества, а также рассчитывать средства коррекции системы для получения заданных динамических показателей
|