4.6. Выделение областей устойчивости
При помощи критерия устойчивости устанавливается факт устойчивости или неустойчивости САР, все параметры которой заданы. Однако, часто при проектировании и наладке систем возникает более общая задача анализа устойчивости – определение допустимых (по условию устойчивости) пре-делов изменения некоторых параметров системы. В качестве таких варьируемых параметров обычно рассматривают коэффициенты передачи и постоянные времени регулятора, которые можно целена-правленно изменять при настройке системы.
Допустимые пределы варьирования параметров системы можно определить путем построения об-ласти устойчивости. Областью устойчивости называется область в пространстве варьируемых па-раметров, каждой точке которой соответствуют только левые корни характеристического урав-нения. Область устойчивости выделяет из всех возможных значений параметров лишь те значения, при которых САР устойчива. Поверхность, ограничивающая область устойчивости называется границей области устойчивости.
Граница области устойчивости в принципе может быть найдена путем многократного применения одного из критериев устойчивости, при различных значениях варьируемых параметров. Однако, такой путь связан с большим объемом вычислений. Эффективным методом отыскания границ области устойчивости является метод D – разбиения, предложенный учеными Соколовым А.А. и Неймарком Ю.И.
4.6.1. Сущность метода D – разбиения
Пусть анализируемая система описывается характеристическим уравнением
. (4.12)
В общем случае, в пространстве варьируемых параметров существуют такие значения параметров, при которых l корней расположены справа, а (n-l) – слева от мнимой оси комплексной плоскости корней. Совокупность всех таких значений образует в пространстве коэффициентов область, которая обознача-ется как
D(n-l,l). Однако, существуют и другие области. В частности область D(n;0) которая является обла-стью устойчивости.
Процесс построения в пространстве параметров (коэффициентов) областей с различным распределением корней называется D – разбиением. Линии, разграничивающие эти области, назы-ваются кривыми D – разбиения. Совокупность значений варьируемых параметров, соответствующих всем возможным значениям от - до + дают все точки кривой D – разбиения. Выделение области D(n;0) среди остальных областей производят при помощи специальной процедуры – штриховки кривых D – разбиения.
4.6.2. D – разбиение в плоскости одного параметра
Предположим, что варьируемый параметр k линейно входит в характеристическое уравнение, т.е.
, (4.13)
где F(p), Z(p) – степенные полиномы от параметра p. Заменив в выражении (4.13) p на j и разрешив его относительно k, имеем, что
. (4.14)
Изменяя в выражении (4.14) частоту от - до +, в системе координат U() и jV() строится кривая D – разбиения, представленная на рис. 4.16.
Рис. 4.16. Кривая D-разбиения.
Так как U() четная функция переменной , а V() – нечетная функция, то кривая D – разбиения всегда симметрична относительно действительной оси U(). Поэтому при построении кривой D – раз-биения достаточно построить ее при изменении частоты от 0 до +, а на частотах от - до 0 строить ее как зеркальное отображение первой. Кривая D – разбиения делит плоскость параметра k на несколько областей с различными вариантами расположения корней. Область устойчивости D(n;0) выделяется с помощью штриховки. Доказано, что в плоскости варьируемого параметра область устойчивости нахо-дится слева от кривой D – разбиения, т.е. при изменении частоты от - до + кривую D – разбиения всегда штрихуют слева. В результате чего и получается несколько областей с различным числом левых и правых корней.
Область, внутрь которой направлена штриховка, может быть областью устойчивости. Чтобы удостовериться в этом, внутри рассматриваемой области берется произвольная точка на ве-щественной оси и пользуясь любым критерием устойчивости проверяют устойчивость системы. Если требования критерия устойчивости выполняются, то рассматриваемая область является областью ус-тойчивости.
Замечание. На практике часто используется построение области устойчивости в плоскости двух параметров.
|