|
|
Главная » 2010 » Февраль » 6 » Преобразование Лапласа
00:39 Преобразование Лапласа |
2.2. Преобразование Лапласа
Для анализа и синтеза САУ в ТАУ широкое распространение при решении дифференциальных уравнений получил операторный метод. Его основным достоинством является сведение решения системы дифференциальных уравнений к решению системы нормальных алгебраических уравне-ний.
В основе операторного метода лежит преобразование Лапласа:
, (2.3)
которое устанавливает соответствие между функцией действительной переменной t {x(t)} и функцией комплексной переменной p {Х(р)}, где ; j – мнимая единица, т.е. ; - круговая частота. Функция времени x(t), входящая в интеграл Лапласа (2.3) называется оригиналом, а резуль-тат интегрирования – функция X(p) – изображением функции x(t) по Лапласу.
Предполагается, что функция x(t), которая подвергается преобразованию Лапласа обладает сле-дующими свойствами:
- x(t) определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой полуоси [0, +);
- x(t) =0 при t<0;
- существуют такие положительные числа M и с, что
при .
Соотношение
, (2.4)
определяющее по известному изображению его оригинал (в точках непрерывности последнего) называется обратным преобразованием Лапласа, которое символически можно записать так:
. (2.5)
2.2.1. Основные свойства преобразования Лапласа
1. Свойства линейности:
а) x(t)=ax1(t) X(p)=aX1(p).
б) x1(t) x2(t) X1(p) X2(p).
2. Дифференцирование оригинала.
При нулевых начальных условиях дифференцированию оригинала соответствует умножение изо-бражения на параметр p:
3. Интегрирование интеграла.
Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на параметр р:
.
4. Теорема запаздывания (смещение аргумента оригинала).
Для любого положительного числа
5. Теорема подобия (изменение масштаба времени).
.
6. Теорема о свертке (теорема умножения изображений).
Если x1(t), x2(t) – оригиналы, а X1(p), X2(p) – их изображения по Лапласу, то
.
7. Теорема о начальном значении оригинала.
.
8. Теорема о конечном значении оригинала.
.
|
|
Категория: ТАУ (Теория автоматического управления) |
Просмотров: 2452 |
Добавил: basic
| Рейтинг: 5.0/1 |
|
Статистика
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0
|
| | |