5.6. Построение кривых переходного процесса
Теоретически кривая переходного процесса получается при решении дифференциального уравнения операторным методом, путем отыскания оригинала выходного сигнала при заданном типовом воздействии. График решения дифференциального уравнения и является кривой переходного процесса.
В курсе рассматриваются следующие методы построения кривой переходного процесса:
- метод трапецеидальных вещественных частотных характеристик (самостоятельно);
- на основе разностных уравнений.
5.6.1. Разностные уравнения
Построение кривой переходного процесса на основе разностных уравнений предполагает дискретизацию непрерывных (аналоговых) уравнений.
Процесс дискретизации можно представить в виде работы следующего элемента (ключа) (рис. 5.9), где t – шаг дискретизации.
Рис. 5.9. Схема дискретизации переменной
Пусть x(t) – входной сигнал элемента представляет собой решение дифференциального или интегро-дифференциального уравнения (рис. 5.10а). На выходе ключа имеем сигнал xp(t), представленный на рис. 5.10б, т.е. последовательность импульсов длительностью h, где h – время замыкания ключа. Если h<<t, то временем замыкания ключа можно пренебречь, что показано на рис. 5.10в.
Математически этот сигнал записывается в виде:
. (5.16)
Рис. 5.10. Процесс дискретизации сигнала
и называется такой сигнал дискретным или решетчатым. Время ti=it называется дискретным временем. Если шаг дискретизации постоянный (t=const), то вместо дискретного времени ti=it используют аналог дискретного времени i, представляющий собой целое число. Тогда дискретный сигнал записывается в виде x(i), т.е.
x(i)= xр(it). (5.17)
Для получения дискретного сигнала x(i) на основе непрерывного x(t), представляющего собой решение дифференциального или интегро-дифференциального уравнения, достаточно последний дискретизировать с шагом t в соответствии с выражением (5.17). Например:
, то .
Дискретный сигнал x(i) можно получить и путем дискретизации непрерывных (дифференциальных или интегро-дифференциальных) уравнений, т.е. путем перехода к разностным уравнениям. Для получения разностного уравнения достаточно любую дискретную функцию, зависящую от другой дискретной функции представить в рекуррентной форме.
Линейное разностное уравнение n-го порядка записывается в виде:
, (5.18)
где i – аналог дискретного времени; a0, a1,…,an, b0, b1,…,bm – коэффициенты разностного уравнения.
Выразив y(i) из уравнения (5.18), получим рекуррентную формулу вида:
(5.19)
где
5.6.2. Получение разностного уравнения на основе интегрального уравнения
Пусть интегральное уравнение имеет вид:
. (5.20)
По определению интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции (рис. 5.11). При использовании метода прямоугольников для численного интегрирования получаем следующую сумму
, (5.21)
Рис.5.11. Дискретизация интегрального уравнения методом прямоугольников
т.е. площадь криволинейной трапеции заменяется приближенно суммарной площадью прямоугольников с основанием t и высотой u(i). Тогда для i-1-го шага, т.е. предыдущего отчета имеем:
. (5.22)
Вычтя выражение (5.22) из (5.21) получим уравнение вида:
,
т.е. разностное уравнение вида:
, (5.23)
где а1=-1; b1=t /T.
Отсюда
, (5.24)
где 1=b1.
5.6.3. Получение разностного уравнения на основе дифференциального уравнения
Для дифференциальных уравнений разностные уравнения получают путем замены дифференциалов левыми разностями, т.е.
;
Получим разностное уравнение для апериодического звена первого – порядка, имеющего дифференциальное уравнение вида:
. (5.25)
Заменив дифференциал левой разностью и введя дискретное время ti имеем, что
Умножив на t и приведя подобные имеем, что
.
Заменив дискретное время ti на i получим разностное уравнение вида:
, (5.26)
где a0=T+t; a1=-T; b0=kt.
Отсюда:
, (5.27)
где .
5.6.4. Построение кривой переходного процесса по разностному уравнению
1. Получение разностного уравнения на основе дифференциального или интегро-дифференциального уравнения.
2. Формирование дискретных входных или управляющих воздействий путем дискретизации известных выражений входных воздействий (например: 1(t)1(i), i=0,1,2,3,…) либо заданием численных значений входных воздействий.
3. Расчет значений кривой переходного процесса по разностному уравнению.
4 Построение кривой переходного процесса по дискретному выходному воздействию y(i).
Достоинства: 1. Простота реализации на ЭВМ. 2. Возможность использования при любом типе входного воздействия.
Недостаток: Точность построения кривой переходного процесса существенно зависит от величины шага дискретизации. Поэтому предварительно необходимо решать задачу выбора оптимальной величины шага дискретизации.
|
