9.2. Функциональная схема цифровых систем управления
Функциональная схема ЦСУ приведена на рис. 9.7, где К - коммутатор; АЦП – аналогово-цифровой преобразователь; ЦАП – цифроаналоговый преобразователь.
Функциональная схема ЦСУ в отличие от функциональной схемы непрерывной САУ содержит интерфейс ввода-вывода УВМ (коммутатор, АЦП, ЦАП, нормирующие преобразователи и т.д.). Кроме того цифровой регулятор, устройство сравнения и задающее устройство реализованы в виде программ УВМ и оперируют они только с дискретными (цифровыми) сигналами.
Рис. 9.7. Функциональная схема ЦСУ
9.3. Математическое описание цифровых систем управления
Поведение ЦСУ в отличие от непрерывных САУ описывается во временной области разностными уравнениями, а в частотной – дискретными передаточными функциями.
Дискретные передаточные функции получаются на основе z-преобразования, которое в дискретном случае играет такую же роль, что и преобразование Лапласа в непрерывном случае. Z-преобразование тесно связанно с дискретным преобразованием Лапласа, определяемое соотношением
, (9.4)
где - дискретная последовательность идеальных импульсов (решетчатая функция), задаваемая соотношением
, (9.5)
где - смещенные дельта-функции, существующие только в моменты времени и равные нулю при всех остальных значениях .
Недостатком дискретного преобразования Лапласа является наличия в выражении (9.4) трансцендентного сомножителя , из-за которого преобразование и дискретная передаточная функция становятся иррациональными функциями аргумента p, что создает значительные трудности при их использовании.
С целью получения дискретной передаточной функции в дробно-рациональной форме, свойственной непрерывным системам, вводят замену:
. (9.6)
Тогда имеем, что
, (9.7)
которое называется z-преобразованием дискретной последовательности.
Для большинства встречающихся в расчетах решетчатых функций z-преобразование может быть выполнено при помощи таблиц соответствия, которые приводятся в специальной литературе по импульсным или цифровым САУ. Например: ;
;
и т.д.
Главное достоинство и удобство z-преобразования заключается в том, что сама запись z-изображения (9.7) указывает простой способ выполнения прямого и обратного z-преобразований.
1) Чтобы по известной функции времени найти её z-изображение, необходимо лишь каждое дискретное значение умножить на , а затем свернуть получившийся степенной ряд в конечную сумму.
2) Чтобы по известному изображению найти соответствующий сигнал , необходимо представить изображение в виде степенного ряда по убывающим степеням , получающиеся при этом числовые коэффициенты ряда и есть дискретные значения сигнала .
Свойства z-преобразования аналогичны свойствам непрерывного преобразования Лапласа. Приведем основные из них:
1. Свойство линейности
.
2. Теорема о начальном значении оригинала:
.
3. Теорема о конечном значении оригинала:
.
4. Теорема запаздывания:
. (9.8)
Соотношение (9.8) показывает, что умножение на соответствует задержке дискретного сигнала на l интервалов дискретизации.
Лекция № 18
Дискретной передаточной функцией называется отношение z-изображения выходной переменной к z-изображению входной переменной при нулевых начальных условиях:
, (9.9)
т.е.
, (9.10)
где - есть временная задержка на один шаг дискретизации.
Дискретные передаточные функции можно непосредственно получить по непрерывным передаточным функциям :
. (9.11)
с использованием таблиц соответствия. Этот способ получения является точным, однако достаточно трудоемким для САУ высокого порядка. Поэтому в практических расчетах ЦСУ используется приближенный метод получения через , называемый методом подстановок. Самостоятельно получить разностные уравнения и для всех типовых динамических звеньев.
9.4. Дискретные (цифровые) типовые регуляторы
Запишем уравнение для непрерывного ПИД-регулятора:
. (9.12)
Для малых шагов дискретизации - это уравнение можно преобразовать в разностное уравнение, состоящее в замене производной левой разностью первого порядка, а интеграл суммой. Операция интегрирования может быть заменена численным интегрированием либо по методу прямоугольников, либо по методу трапеций.
При использовании метода прямоугольников имеем, что:
. (9.13)
Выражение (9.13) представляет собой не рекуррентный алгоритм управления, в котором для формирования суммы необходимо помнить все предыдущие значения сигнала ошибки . Поскольку каждый раз значение вычисляется заново, этот метод называется "позиционным”.
Для получения рекуррентного алгоритма вычтем из уравнения (9.13) уравнение вида:
. (9.14)
В итоге имеем, что
, (9.15)
где
; ; .
В этом алгоритме управления вычисляется только приращение управляющего воздействия:
, (9.16)
поэтому этот алгоритм управления называется "скоростным”.
Если интегрирование осуществлять по методу трапеций, то
. (9.17)
Вычтя из него выражение для (i-1)-го шага получим следующий "скоростной” алгоритм управления:
, (9.18)
где
; ; .
Аналогичными рассуждениями можно получить разностные уравнения для других типовых регуляторов.
|
